Sejarah Vektor

Sejarah Vektor dan Skalar

Periode I: Tiga Sumber Awal Konsep Vektor dan Analisis Vektor
Analisis vektor muncul di periode setelah 1831, ada tiga hal yang melandasi kemunculannya itu (1) penemuan bilangan kompleks, (2) pencarian geometri posisi oleh Leibniz, dan (3) ide tentang kecepatan.

Periode II: William Rowan Hamilton dan penemuannya
Hamilton mencari selama tiga belas tahun, sistem untuk analisis ruang dimensi tiga, kemudian penemuan tentang sistem analisis vektor dipublikasikan secara luas setelah ia meninggal.

Periode III: Penemuan Sistem vektor lainnya, Terutama Kalkulus Grassmann
Hamilton tidak sendirian dalam menciptakan sistem vektor selama periode sekitar 1843-1866. Bahkan, dalam periode itu enam penulis lain dari empat negara yang mengembangkansistem tersebut. Keenam orang itu Agustus Ferdinand Möbius, Giusto Bellavitis, Comte de Saint-Venant, Augustin Cauchy, Matthew O’Brien, dan terutama Hermann Gunther Grassmann.

Periode IV: Periode Tengah dalam Pengembangan Sistem Modern Vektor
Pada periode 1865-1880 ini diantaranya dikembangkan oleh Peter Guthrie Tait, Benjamin Peirce, James ClerkeMaxwell 

Periode V: Penciptaan Sistem Modern Analisis Vektor.
Dua orang memainkan peran penting dalam penciptaan analisis vektor modern. Mereka adalah Josiah Willard Gibbs dan Oliver Heaviside, sistem yang hampir secara universal diajarkan pada saat ini.

Periode VI: Perjuangan untuk mempertahankan Sistem Analisis vektor.
karena terjadi perbedaan pendapat yang menentang sistem analisis vektor tersebut pada tahun 1890-1894.

Periode VII: Munculnya Sistem Modern Analisis Vektor: 1894-1914

 Pengertian dan Penulisan Vektor

Vektor adalah besaran yang mempunyai nilai dan arah. Sedangkan skalar adalah besaran yang memiliki nilai saja.
Ada berbagai cara penulisan vektor, yaitu:

Huruf kecil yang dicetak tebal.
Seperti a, b, c, dan sebagainya. 
Misalnya, vektor  di samping ditulis sebagai vektor a.

Huruf kecil yang di atas huruf itu dibubuhi tanda panah.
Seperti (a,) ⃗b ⃗,c ⃗ dan sebagainya. 
Misalnya vektor disamping dapat ditulis sebagai vektor a ⃗ .

Huruf kecil yang di bawah huruf itu dibubuhi garis bawah.
Seperti ▁a,▁b,▁c dan sebagainya. 
Misal vektor disamping dapat ditulis sebagai vektor ▁a.

Huruf kapital dengan tanda panah di atasnya. Seperti
(PQ) ⃗ , (AB) ⃗, (CD) ⃗ dan sebagainya. .
Misalnya, vektor di samping ditulis sebagai vektor (PQ) ⃗ .

 Kesamaan Dua vektor

Dua vektor u ⃗ dan v ⃗ dikatakan sama jika keduanya mempunyai panjang dan arah yang sama.
Untuk u ⃗ dan v ⃗ di R_2:
Vektor u ⃗=(■(x_1@y_1 )) dan v ⃗=(■(x_2@y_2 )) sama jika dan hanya jika x_1=x_(2 ) dan y_1=y_(2 )
Untuk u ⃗ dan v ⃗ di R_3:
Vektor u ⃗=(■(x_1@y_1@z_1 )) dan v ⃗=(■(x_2@y_2@z_2 ))sama jika dan hanya jika x_1=x_(2 ),y_1=y_(2 ) dan z_1=z_2

 Operasi pada Vektor

Penjumlahan Dua vektor
Secara geometris, penjumlahan antara vektor a dan b ini dapat dilakukan dengan dua cara,
yaitu:

Cara segitiga

Dalam cara ini, titik pangkal vektor b berimpit ruas dengan titik ujung vektor a. Jumlah vektor a dan b didapat dengan menarik ruas garis dari titik pangkal vektor a ke titik ujung vektor b. Akibatnya a + b = c

Cara jajargenjang

Dalam cara jajargenjang, titik pangkal a berimpit dengan titik pangkal vektor b, yaitu di A.
Secara aljabar atau analitik yaitu:
Untuk a ⃗ dan b ⃗ di R_2:
Untuk a ⃗ dan b ⃗ di R_3:

Sifat penjumlahan vektor:

u ⃗+v ⃗=v ⃗+u ⃗
(u ⃗+v ⃗ )+w ⃗=u ⃗+(v ⃗+w ⃗ )
Terdapat vektor nol (notasi: 0 ⃗ ) sehingga u ⃗+0 ⃗=u ⃗ untuk setiap vektor u ⃗,dan
Untuk setiap vektor u ⃗ terdapat vektor v ⃗ sehingga u ⃗+v ⃗=0 ⃗. Vektor v ⃗ merupakan vektor lawan u ⃗ dan ditulis v ⃗=-u ⃗

Pengurangan Dua Vektor

Cara geometrik

Jika vektor (AB) ⃗ mewakili u ⃗ dan (AC) ⃗ mewakili v ⃗ maka:
(AB) ⃗-(AC) ⃗=(CB) ⃗
u ⃗ – v ⃗=u ⃗+((-v) ⃗ )

Cara aljabar atau analitik

Untuk a ⃗ dan b ⃗ di R_2:

Untuk a ⃗ dan b ⃗ di R_3:

Perkalian Skalar dengan Vektor 

Jika k skalar dan v ⃗ vektor maka:
k v ⃗ dan v ⃗ searah jika k>0;
k v ⃗ dan v ⃗ berlawanan arah jika k<0;
k (v ) ⃗ vektor nol jika k=0

Sifat perkalian skalar dengan vektor:

(k+l) u ⃗=ku ⃗+lu ⃗ c. k(u ⃗+v ⃗ )=ku ⃗+kv ⃗
(kl) u ⃗=k(lu ⃗ ) d. 1u ⃗=u ⃗
Dengan k dan l skalar dan u ⃗,v ⃗ vektor,

 Hukum-Hukum dalam Operasi Hitung Vektor 

Jika a, b, dan c vektor-vektor di R2 atau di R3 dan k serta l skalar tak nol maka berlaku hubungan berikut:
a+b=b+a 5. k(la)=(kl)a
(a+b)+c=a+(b+c) 6. k(a+b)=ka+kb
a+0=0+a=a 7. (k+l)a=ka+la
a+(-a)=0 8. 1a=a

Vektor Posisi dan Jarak Dua Vektor di Bidang dan Ruang

Vektor Posisi pada Bidang

Perhatikan vektor p ⃗=(■(3@2)) yang diwakili ruas garis berarah (OP.) ⃗ Letak (OP) ⃗ yang mewakili p ⃗ itu istimewa letaknya sebab berpangkal pada pangkal titik O. Vektor yang mewakili oleh (OP) ⃗ disebut vektor posisi dari titik P dan ditulis dengan p ⃗. Dengan demikian vektor posisi dari titik A(2,-3) dan B(-4,-1) berturut-turut adalah a ⃗=(■(2@-3)) dan b ⃗=(■(-4@-1)).

Vektor Posisi pada Ruang

Pada sistem koordinat ruang terdapat tiga sumbu yang saling tegak lurus. Ketiga sumbu tersebut umumnya diberi nama sumbu x, sumbu y, dan sumbu z. Posisi suatu titik yang berada di dalam ruang dimensi tiga dihubungkan dengan ketiga sumbu koordinat. Karenanya dalam sistem koordinat ruang terdapat tiga komponen yang menentukan posisi suatu titik. Misalnya titik P berada dalam suatu ruang maka titik P dinyatakan dengan P(p_1,p_2,p_3). Komponen pertama p_1 berkaitan dengan sumbu-x, komponen kedua p_2 berkaitan dengan sumbu y, dan komponen ketiga p_3 berkaitan dengan sumbu z. Contoh berikut memperlihatkan cara menggambar (memplot) titik P(4,5,-2) pada sistem koordinat ruang.

Jarak antara dua vektor 

Jika P_1 (x_1,y_1) dan P_2 (x_2,y_2) adalah dua titik di Ruang-2, maka jarak antara titik tersebut adalah norma vektor P_1 P_2.
(P_1 P_2 ) ⃗=(x_2-x_1,〖 y〗_2-y_1)
Maka panjang (P_1 P_2 ) ⃗=‖P_1 P_2 ‖
=√((x_2-x_1 )^2+(〖 y〗_2-y_1 )^2 )
Sehingga jarak antara vektor u=(u_(1,) u_2,…,u_n) dan vektor v=(v_(1,) v_2,…,v_n) pada R^n didefinisikan:
d(u,v)=‖u-v‖
=√((u_1-v_1 )^2+(u_2-v_2 )^2+⋯+(u_n-v_n )^2 )
Bentuk ini biasa disebut dengan Jarak Euclidis.

Kedudukan vektor pada Bidang dan Ruang

Vektor pada R2 (Bidang)
Vektor dalam ruang berdimensi dua ditulis R2 atau R 2. Untuk menyajikannya diperlukan susunan sumbu-sumbu koordinat. Yaitu sumbu mendatar (sumbu X) dan sumbu vertical (sumbu Y). vektor di R2 ditandai dengan seberapa jauh perpindahan ke kanan atau ke kiri dan [erpindahan ke atas atau ke bawah. Perpindahan ke kanan dan ke atas diberi tanda positif, sedangkan perpindahan ke kiri dan ke bawah diberi tanda negatif.
Suatu vektor bidang (R2 ) dapat dituliskan sebagai pasangan bilangan berurutan {x,y} atau [x,y]. Bilangan x dan y merupakan komponen skalar dari vektor tersebut.
(AB) ⃗ artinya perpindahan dari titik A ke titik B.